Прогнозирование отказов изделий авиационной техники на основании статистического моделирования

Математика — самая надёжная форма пророчества
(Вильгельм Швебель)

В составе Автоматизированной системы прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий (АС ППАП), функционирующей в Группе компаний «Волга-Днепр», внедрен модуль мониторинга и прогнозного управления надежностью парка ВС Вoeing-747.

В качестве основного параметра надежности принята наработка изделия до отказа – в циклах (взлет-посадка) или летных часах. Исходными данными для оценки выступают выборки эмпирических значений наработки до отказа для изделий авиационной техники (ИАТ), полученные из информационной системы (ИС) поддержания летной годности TRAX.

Стандартный статистический анализ надежности базируется на преобразовании выборочных данных в функцию распределения [1]. При этом на практике выдвижение гипотезы о виде функции распределения, как правило, не поддается какой-либо формализации. Вид закона (например, экспоненциальный, Релея, Вейбулла, Гаусса и др.) выбирается исследователем по результатам визуального анализа эмпирической функции распределения (рис. 1).

Рис. 1. Примеры подбора функции распределения по графикам плотностей вероятности эмпирической зависимости (на рисунке «Факт») и теоретических законов для изделия p/n 1167015-141

Как видно, подбор законов распределения наработки до отказа по плотности вероятности является достаточно сложной процедурой. В данном случае наиболее близким законом можно считать распределение Вейбулла (рис. 2), тем не менее, расхождения между значениями эмпирической и теоретической зависимостями существенны. Кроме того, очень часто бывает практически невозможно достоверно подобрать закон распределения по причине малых значений выборок.

Исходя из вышеизложенных соображений, в основу реализованного метода был положен принцип подбора закона распределения не по плотности вероятности, а по интегральной вероятности – в виде полиномиальной зависимости вероятности отказа от наработки изделия. Такой подход обеспечивает, в том числе, возможность использовать малые (от 6 значений) выборки статистических данных.

Рис. 2. Подбор функции распределения по графикам плотностей вероятности эмпирической зависимости (на рисунке «Факт») и закона распределения Вейбулла для изделия p/n 1167015-141

Зависимость вероятности отказа от наработки определяется на основании диаграммы накопленных частот, которая строится следующим образом [2]:

1. Значения наработки представляются в виде вариационного ряда, то есть, в порядке возрастания.
2. Подсчитываются частоты ƒ_i вхождения в выборку всех имевших место значений наработки.
3. Для каждого значения наработки рассчитывается сумма накопленных частот. При этом S₁ = f₁; S₂ = S₁ + f₂; S₃ = S₂ + f₃ и так далее.

Затем для каждого значения наработки вычисляется экспериментальная вероятность отказа:

где:

P – вероятность отказа;
T_i – наработка до отказа;
S_i – накопленная частота;
n – количество элементов (наработок) в выборке.

То есть, экспериментальная вероятность отказа для i-ой наработки равна накопленной частоте S_i , деленной на общее количество наработок в выборке, увеличенное на единицу.

После этого аппроксимируется зависимость P (T_i) – в виде полинома 1…6 степени. По мере накопления статистики данная зависимость постоянно пересчитывается (обновляется). Период обновления данных – не более двух недель.

Расчеты показателей надежности ИАТ (в данном случае это вероятности отказов в зависимости от наработки) производятся в два этапа:

1. Расчет параметров (коэффициентов) зависимости вероятности отказа от наработки для каждого типа (партийного номера) ИАТ в АС ППАП, модуль «Надежность Boeing»;
2. Собственно расчет вероятности отказа для каждого ИАТ (серийного номера), установленного на ВС, в АС ППАП, модуль «Вероятность отказа».

Расчет коэффициентов зависимости вероятности отказа от наработки

Расчет для каждого изделия возможен в циклах и в часах.

Модель строится на основании полученных данных по отказам, где отказавшие компоненты делятся на 4 группы по статусу:

1. Отремонтированные (Repaired — REP)
2. Новые (New — NEW)
3. После капитального ремонта (Overhauled — OVH)
4. Протестированные (Tested — TEST)

Расчет, как правило, производится для каждого статуса отдельно (рис. 3). В случае если по каким-либо статусам статистики недостаточно (менее 6 записей), допускается объединять данные по двум (нескольким) статусам с близкой средней наработкой. Таблица средних наработок по статусам так же приведена на вкладке партийного номера (рис. 3). В данном случае можно объединить статистику по статусам REP и TEST.

Рис. 3. Таблицы средней наработки и количества имеющихся записей по статусам.

При выборе статуса данные аппроксимируются по умолчанию полиномом степени 6 (максимальная степень). Уравнение аппроксимирующей функции приводится над графиком (рис. 4). Меняя степень полинома в соответствующем окне, можно оценить качество подбора функции для каждой степени и сохранить результаты. Оценка качества аппроксимации производится исходя из следующих критериев:

1. Гладкость функции (отсутствие резких перегибов графика между точками).
2. Значение коэффициента детерминации R² – приводится рядом с уравнением аппроксимации.

Рекомендованные значения R² ≥ 0,8. В отдельных случаях (как правило, при числе записей менее 8-10) достигнуть приемлемой величины R² не удается. При этом следует ориентироваться на визуально воспринимаемую гладкость линии графика преимущественно в диапазоне вероятностей 0,5…0,95.

3. В районе значений вероятности, близких к 1, следует отдать предпочтение функции, для которой линия графика направлена на увеличение вероятности.

Дополнительно в системе предусмотрены следующие инструменты:

— искусственное введение в выборку точки с координатами (0,0), то есть нулевая вероятность отказа при нулевой наработке. Осуществляется постановкой маркера в соответствующее окно. Ввод / исключение такой точки в ряде случаев (например, при отсутствии данных по малым значениям наработок) помогает существенно улучшить вид линии зависимости;

— возможность исключения точек из расчета. Как правило, это относится к случаям некорректных данных по наработке (прежде всего для арендованных ВС). Так, например, если в ИС TRAX, при отсутствии достоверных данных по дате установки ИАТ, вместо фактической указана дата изготовления ВС, точки с такой (нереально большой) наработкой будут резко выделяться из общей зависимости. Такие записи исключаются из расчетов нажатием соответствующей графической кнопки.

На рис. 4 приведен фрагмент рабочего окна модуля, содержащий результаты аппроксимации зависимости вероятности отказа от наработки для ИАТ по выборке размером 62 элемента. На рис. 5 и 6 представлены результаты аппроксимации для выборок из 7 и 359 элементов соответственно.

Рис. 4. Фрагмент рабочего окна модуля. Аппроксимация зависимости полиномом степени 4, выборка из 62 элементов

Рис. 5. Аппроксимация зависимости полиномом степени 3, выборка из 7 элементов

Рис. 6. Аппроксимация зависимости полиномом степени 6, выборка из 359 элементов

Расчет вероятностей отказов

Расчеты вероятностей отказов в зависимости от наработки для ИАТ, установленных на ВС, полностью автоматизированы в модуле «Вероятность отказа». При этом текущая наработка изделий поставляется из информационной системы поддержания летной годности TRAX, а коэффициенты расчетных формул (зависимостей) — из модуля «Надежность Boeing».

При проведении расчетов все полученные результаты, выходящие за границы [0,1] принимаются равными нулю, если они были отрицательными, или единице, если они были более 1.

Выходная форма результатов расчета представляет собой таблицу (которая может быть экспортирована в MS Excel) и содержит следующие столбцы:

Pn	партийный номер
Pn Description	наименование
Sn	серийный номер
Chapter	глава АММ (система ВС)
Chapter Descr	наименование главы (системы ВС)
Installed AC	бортовой номер ВС
Installed Position	позиция установки
Installed Date	дата установки
Current Fc	текущая наработка в летных циклах
Current Fh	текущая наработка в летных часах
Type	единица измерения наработки
Status	статус
Mel	категория MEL
Essentiality Code	код важности
Fail Probability	расчетная вероятность отказа

Предусмотрена возможность фильтрации данных практически по любому параметру. На рис. 7 приведен пример выходных данных, отфильтрованных по одному из партийных номеров.

Для наглядности в выходную форму введены цветовые маркировки значений вероятности отказов:

от 90 % до 100 %  — красный;
от 75 % до 90 %    — янтарный;
от 50 % до 75 %    — желтый;
от 0 % до 50 %      — зеленый.

Рис. 7. Выходная форма модуля «Вероятность отказа» на примере изделия 734-06485-14

Использование результатов статистического анализа

Полученная в модуле «Вероятность отказа» выходная форма используется специалистами инженерно-авиационной службы при разработке мероприятий по надежности авиационной техники.

Кроме того, возможно использование в различных целях данных, полученных в модуле «Надежность Boeing» АС ППАП. Так, помимо постоянного отслеживания актуальной средней наработки (рис. 3), модуль представляет в наглядном, удобном для анализа виде, ряд дополнительных параметров, например, гистограмму распределения наработки для выбранного статуса и единицы измерения. При этом рядом с гистограммой также отображаются среднее значение (математическое ожидание) наработки (деленное на 10 000) и дисперсия выборки для выбранной единицы измерения (рис. 8).

Представление зависимостей вероятности отказа от наработки в сравнении по статусам на одном поле (рис. 9) позволяет оценить влияние статуса изделия на величину наработки до отказа, что может быть полезно, в том числе, для специалистов по закупкам ИАТ. Так, для представленного статуса NEW вероятность отказа 80% наступает при наработке в циклах 0,3686 * 10⁴, для изделий статуса OVH — при наработке 0,2962 * 10⁴, для REP — при наработке 0,0876 * 10⁴ и для TEST — при наработке 0,1072 * 10⁴ циклов.

Рис. 8. Пример гистограммы распределения наработки

Рис. 9. Представление зависимостей вероятности отказа от наработки в сравнении по статусам

Таким образом, моделирование отказов компонентов ВС на малых выборках с помощью подбора параметров выборочной функции методом наименьших квадратов позволяет осуществлять прогноз отказов компонентов в условиях ограниченных статистических данных и планировать запас компонентов на основе прогнозных значений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Техническая эксплуатация летательных аппаратов: Учеб. для вузов / Н. Н. Смирнов, Н. И. Владимиров, Ж. С. Черненко и др.; под ред. Н. Н. Смирнова. — М.: Транспорт, 1990. — 423 с
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учеб. Пособие для втузов. – 2-е изд., стер. — М., Высшая школа, 2000 – 480 с.: ил.

Группа «Волга-Днепр»

Завершинский Владимир Витальевич — ведущий системный аналитик по полетной информации, кандидат технических наук, Группа Волга-Днепр

Осельская Анастасия Викторовна, специалист по анализу данных центра обработки и анализа полетной информации, Группа Волга-Днепр